Aby uzyskać równość można pokazać bezpośrednio, że komutator zawiera się w innym sposobem jest znalezienie ilorazu będącego grupą abelową – wówczas wszystkie komutatory z są trywialne w a więc wszystkie komutatory z leżą w Grupa jest normalna (sprzężenia potęg są potęgami tego elementu lub jego odwrotności, które należą do ), abelowa (ma rząd 4 i reprezentację izomorficzną z grupą czwórkową, gdzie ponieważ gdyż ), dzięki czemu jest abelowa.Jeśli jest nieparzysta, to .
Jeśli (z elementem neutralnym ), gdzie dla pewnego oraz a ponadto to istnieje epimorfizm jeśli to epimorfizm ten jest izomorfizmemWarunki oraz nie oznaczają, że elementy mają rzędy odpowiednio lecz że są dzielnikami tych liczb.. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji w postaci grupy macierzy stopnia nad mianowicie zbiór macierzy
tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad postaci gdzie a wyraz jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy;