Zatem dla podciągów i granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc
nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba że dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje taka liczba rzeczywista że dla dowolnego podziału o średnicy bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje taki podział przedziału że dla każdego podziału rozdrabniającego zachodzi
Funkcję nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę jej całką Riemanna.
Równoważność thumb|Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się. Jeżeli jest rozdrobnieniem to oraz Jeżeli są dwoma podziałami przedziału to istnieją ich rozdrobnienia (podział złożony z punktów i ), mamy więc skąd
Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi i odpowiadającego mu podziału bez punktów pośrednich odcinka zachodzi
więcej, są to kresy dolne i górne wartości odpowiadającej podziałowi z dowolnymi punktami pośrednimiNiech wyznaczając tak, by otrzymuje się
co z dowolności oraz oszacowania pociąga tezę dla kresu górnego;