Jak łatwo sprawdzić, domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny Jest on ideałem rozłącznym z zawierającym Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych zachodzi Niech teraz będą minimalnymi ideałami zawierającymi i odpowiednio. Wówczas, skąd Niech zatem będą takie, że i Istnieją wówczas takie że i Wówczas jednak skąd
co oznacza, iż przecząc wyborowi Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.
Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości)
Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.
Niech zatem będzie kratą nieskończoną i niech będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem jako zbiorem zmiennych zdaniowych.
Rozważmy następujący zbiór formuł zdaniowych w tym języku:
gdzie