Zbiór wszystkich termów arytmetyki Peana oznaczany będzie
Dla wygody czasem zamiast pisze się zamiast pisze się i zamiast pisze się
Definiujemy indukcyjnie ciąg numerałów:
Język formuł arytmetyki PA Formułami atomowymi arytmetyki Peana nazywamy napisy postaci oraz gdzie
Zwyczajowo zamiast pisze się zamiast pisze się
Zbiór formuł atomowych języka PA, oznaczymy Przykład: formułami atomowymi języka PA są {| cellspacing=10 |(Zero jest najmniejsze)
|(Aksjomaty dla dodawania)
|(Aksjomaty dla mnożenia)
|(Przemienność dodawania i mnożenia)
|(Łączność dodawania i mnożenia)
|(2+3=5)
|(2*3=6)
Formułami arytmetyki Peana nazywamy formuły języka
gdzie
oraz gdzie jest wzbogaceniem sygnatury do zbioru dla którego
Zamiast pisać pisze się zazwyczaj zamiast zaś pisać pisze się zazwyczaj Przykład: formułami języka PA są
Lemat (o kształcie formuł) Niech będzie językiem zdaniowym.
Wówczas dla każdej formuły tego języka zachodzi jeden z warunków
Dla dowodu tego lematu należy rozważyć zbiór formuł spełniających warunki i powyżej, a następnie pokazać, że jest on domknięty na budowę formuł.
Lemat (o jednoznaczności budowy) Niech będzie językiem zdaniowym, niech będą formułami i niech będą takie, że
Wówczas oraz