W roku, w którym się urodził, Henrich Mychitarian wraz z rodzicami wyjechał do Francji, gdyż jego ojciec został piłkarzem tamtejszego klubu ASOA Valence. Hamlet Mychitarian grał w ASOA Valence pięć lat, po czym przeniósł się do innego francuskiego klubu, , a następnie w 1995 zakończył piłkarską karierę z powodu guza mózgu i wrócił z rodziną do Erywania. Zmarł w kolejnym roku, kiedy Henrich miał siedem lat.
Kariera klubowa Karierę piłkarską Mychitarian rozpoczął w wieku 17 lat w Piuniku Erywań i od razu stał się jednym z liderów zespołu. Pierwszego gola, w armeńskiej Premier-lidze strzelił we wrześniu 2006. Nastoletni Mychitarian po raz pierwszy wyszedł wtedy w podstawowym składzie i już w 18 minucie pokonał bramkarza zespołu Szirak Giumri. W rozgrywkach Premier-ligi sezonu 2009, po pierwszej rundzie, z 11 bramkami prowadził w klasyfikacji strzelców. Zainteresowały się nim kluby takie jak m.in. Lokomotiw Moskwa, Dynamo Kijów, Boca Juniors, czy Olympique Lyon.