Uczęszczał do katolickiej Szkoły Podstawowej Zakonu im. Najświętszego Serca Jezusowego w Grottaferrata. Kiedy miał 6 lat rodzina zamieszkała w Los Angeles, gdzie kontynuował naukę, a latem wracał do swojego domu w Cecchina w Castelli Romani. Miał 10 lat, gdy jego rodzice sprzedali dom w Bel Air w Kalifornii, aby przez następne 10 lat prowadzić winnicę w San Antonio. W 1982 roku jego ojciec, po nominacji do Oscara, podpisał kontrakt na sceniczną wersję musicalu Grek Zorba Freda Ebba w reżyserii Michalisa Kakojanisa, w teatrze na Broadwayu w Nowym Jorku, gdzie Danny mieszkał przez osiem lat. W 1990 roku przeniósł się do Los Angeles.
Kariera Danny zaczął swoją karierę artystyczną w Nowym Jorku. Początkowo studiował administrację gospodarczą na Master of Business Administration, ale po dwóch latach jego to znudziło i poszedł w ślady ojca. Przez dwa lata poznawał tajniki gry aktorskiej w nowojorskim Herbert Berghof Studio.