Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez w 1861.
Twierdzenie Stokesa w przestrzeni Jeżeli jest płatem powierzchni w a jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego (gdzie ) mamy:
Dowód Niech gdzie oraz Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest ), otrzymujemy równość:
(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych i ).
A więc z twierdzenia Greena mamy:
Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:
Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych i i wyniki zsumujemy, otrzymamy:
gdzie
Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego przez płat Co daje tezę.
Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla -wymiarowych powierzchni gładkich.
Załóżmy, że jest orientowalną powierzchnią gładką, jest zbiorem zwartym oraz oraz że brzeg jest -wymiarową powierzchnią gładką.