Przez całą karierę szybownika wywalczył 18 medali w mistrzostwach Polski, a ostatni (złoty) zdobył w 2006 r., zajmując pierwsze miejsce w mistrzostwach Polski klasy standard.
Jako pierwszy polski pilot pokonał szybowcem odległość 1000 km, przelatując 14 maja 1980 r. w locie docelowo-powrotnym dystans 1050 km. Za ten wyczyn wyróżniony został „Złotą Odznaką Szybowcową” FAI z trzema diamentami i liczbą 1000 (odznaka z numerem 28).
W latach 70. ustanowił cztery szybowcowe rekordy kraju. Jako reprezentant Polski brał udział w mistrzostwach świata i Europy. W rozgrywanych w Finlandii w 1976 r. mistrzostwach świata, Henryk Muszczyński wywalczył brązowy medal w klasie Open, latając na polskim szybowcu SZD-42 Jantar 2. W latach 1983–1992 pełnił funkcję trenera kadry polskich szybowników.
Został zwycięzcą Szybowcowego Pucharu Polski w latach 2004, 2005 i 2006. Do końca 2005 roku zdobył 5 złotych, 5 srebrnych i 6 brązowych medali szybowcowych mistrzostw Polski, plasując się w klasyfikacji wszech czasów na drugim miejscu za Januszem Centką.
W 2008 r. wygrał w wieku 73 lat Krajowe Zawody Szybowcowe w Ostrowie Wielkopolskim. Były to jego ostatnie zawody. Tu też po raz pierwszy przyznano Puchar im.