nad ciałem liczb rzeczywistych; rzeczywiste na przestrzeni Banacha lub jej podzbiorze.
Trzecie ani czwarte znaczenie nie są rozłączne z piątym, ponieważ: funkcję rzeczywistą lub zespoloną można określić na przestrzeni liniowej ze skalarami rzeczywistymi lub zespolonymi; przestrzenią tą może być przestrzeń funkcyjna.
Funkcjonał w szóstym znaczeniu to inaczej forma, przy czym termin ten miewa też inne znaczenie. Tak rozumiany funkcjonał (forma) to szczególny przypadek operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).
Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.
Przykłady Dualność
(1) Funkcja
przekształca argument na wartość funkcji w punkcie
(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu tj.