Powyższa własność bardzo upraszcza obliczanie wielomianów od macierzy. To uproszczenie rozciąga się również na nieskończone szeregi potęgowe, np. szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in. eksponens. Zachodzi – wynikiem funkcji wykładniczej jest zwykłe przeskalowanie. Podobne uproszczenia zachodzą dla rzutów (idempotentów).
Własności diagonalizacji Wektorem własnym niezerowego odwzorowania skalarnego (i przez to macierzy skalarnej) jest każdy wektor: Odpowiednią przestrzenią własną jest cała rozważana przestrzeń liniowa. Dla macierzy skalarnej jedyną wartością własną jest c – ta liczba to całe widmo macierzy (spektrum).
Macierz skalarna jest przez to diagonalizowalna: w sposób dość trywialny, bo jest z definicji diagonalna.
Wielomian charakterystyczny macierzy skalarnej jest dość prosty, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek (równy ). Jego krotność jest równa wymiarowi rozważanej przestrzeni i macierzy. Wielomian minimalny to w tym wypadku funkcja liniowa:
Ślad macierzy skalarnej (i odwzorowania skalarnego) jest równy wymiarowi przestrzeni oraz macierzy, przemnożonemu przez odpowiedni skalar.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
S