Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe Operator Laplace’a w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
(1) ogólny wzór
(2) z użyciem symboli
gdzie: – odwrotny tensor metryczny, – symbole Christoffela układu krzywoliniowego.
(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego
gdzie: – wyznacznik tensora metrycznego.
(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)
Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją Słuszne są następujące twierdzenia:
Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji
lub równoważnie
Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej wyraża się przez operatory gradientu i rotacji
lub równoważnie
Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru
lub równoważnie
Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci
tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości obliczone z funkcji współrzędnych tej funkcji wektorowej, tj.
lub równoważnie
W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.
Zobacz też
zagadnienie własne dla operatora Laplace’a
Operatory różniczkowe