Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.
Operator ten jest oznaczany symbolem „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.
Przyjmując sygnaturę metryki czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.
Współrzędne We współrzędnych operator d’Alemberta ma postać
gdzie: – operator Laplace’a, – prędkość światła w próżni.
Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się
Współrzędne We współrzędnych mamy:
Zapis skrócony Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.
gdzie: – składowe kowariantne 4-gradientu, – składowe kontrawariantne 4-gradientu.
Wstawiając współrzędne, otrzyma się
przy czym
Zastosowania Teoria drgań Równanie falowe np.