De la Mata razem z klubem Independiente, grając u boku takich graczy jak Antonio Sastre czy Arsenio Erico, dwa razy z rzędu - w latach 1938 i 1939 - zdobył tytuł mistrza Argentyny. Do historii przeszedł jego wyczyn z dnia 12 października 1939 roku, gdy Independiente grał przeciwko River Plate. De la Mata, znajdując się na pozycji lewego obrońcy, otrzymał podanie, po czym ominął kolejno ośmiu rywali (Moreno, Minella, znów Moreno, Vassini, Santamaria i na końcu bramkarz River Plate Sirne), po czym zwolnił bieg i ze stoickim spokojem wszedł do bramki z piłką u nogi. Współcześni określili jego akcję mianem obra de arte (czyli dzieło sztuki).
Wciąż jako gracz Independiente wziął udział w turnieju Copa América 1945, gdzie Argentyna ponownie zdobyła mistrzostwo Ameryki Południowej. De la Mata zagrał w trzech meczach - z Boliwią (zdobył bramkę), Ekwadorem (zdobył bramkę) i Brazylią (w 67 minucie zastąpił Norberto Méndeza).