Twierdzenie Gerszgorina — część 2

Z równania na wartości własne macierzy mamy lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):

obustronnie odejmując dostajemy:

I dzielimy obustronnie przez (z wyboru i wiemy, że ), a także obkładamy modułami:

Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku mamy

□

Ponieważ wartości własne macierzy są takie same jak macierzy twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy i sumy kół dla macierzy

W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.

Bibliografia S. Gerschgorin, Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk” 7 (1931), s. 749–754. R.S. Varga, Geršgorin and His Circles, Berlin: Springer-Verlag, 2004. . Errata. Andrzej Turowicz, Geometria zer wielomianów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967.

Linki zewnętrzne

Semyon Aranovich Gershgorin biography at MacTutor

Kategoria:Twierdzenia o macierzach kwadratowych