Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.
Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.
Twierdzenie Niech (a) będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych (b) będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn. dla wszystkich dla wszystkich i (c) będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni (d) będzie takim odwzorowaniem liniowym, że dla wszystkich
Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy że
dla wszystkich oraz
dla wszelkich
Uwagi o dowodzie Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne). Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-TarskiegoJanusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox.