Przykład wielomianu 4. stopnia Podobnie, kolejne współczynniki wielomianu:
mają znaki: +, +, −, +, −,, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza wielomian ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ po zastąpieniu przez pierwiastki wielomianu zmieniają znaki, a po zastąpieniu przez pierwiastki zmniejszają się o to za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować liczbę pierwiastków większych od W powyższym przykładzie zastąpienie przez daje:
tzn. wyjściowy wielomian ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie przez daje:
skąd wniosek, że dany wielomian nie ma pierwiastków większych od 1.
Konsekwencje i zastosowania Reguła ta umożliwia też oszacowanie liczby ujemnych pierwiastków wielomianu [dostęp 2022-03-21].. Sprowadza się to do sprawdzenia analogicznej wielkości dla wielomianu czyli po zmianie na przeciwne znaków współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej: Ponadto zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że łączna liczba zespolonych pierwiastków wielomianu – licząc krotności – jest równa jego stopniowi co pozwala znaleźć też liczbę pierwiastków poza osią rzeczywistą Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu są rzeczywiste to Descartes theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-03-21]..