Istnienie Z definicji istnieje ciąg spełniający z powyższej nierówności wynika inna,
która pociąga za sobą warunek Cauchy’ego dla ciągu a z zupełności jest dla pewnego elementu który należy do zbioru na mocy jego domkniętości (i niepustości); jest on poszukiwanym elementem o minimalnej normie, ponieważ
Aproksymacja i rzut
Powyższe twierdzenie można sformułować w nieco inny sposób uzyskując Twierdzenie o najlepszej aproksymacji Dla każdego istnieje jeden i tylko jeden element dla którego zachodzi
gdzie oznacza odległośćZob. metryka Hausdorffa. elementu od zbioru
Element nazywa się elementem najlepszej aproksymacji dla (tzn. najlepiej przybliżającym w sensie odległości). W twierdzeniu o zbiorze wypukłym aproksymowany jest w istocie element (ma on najniższą, zerową normę spośród elementów i jest to jedyny element o tej normie), wystarczy więc rozpatrzeć translację zbioru dla dowolnie wybranego elementu
Jednoznacznie wyznaczony element nazywa się też rzutem elementu na (domknięty i wypukły) zbiór i oznacza Od projekcja..