Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane twierdzeniem o homomorfizmie oraz, w odniesieniu do grup, dwoma prawami izomorfizmów.
Grupy Poniższe twierdzenia o izomorfizmie dla grup przyjmują prostszą postać niż ich ogólne odpowiedniki i wyrażają ważne własności grup ilorazowych; we wszystkich trzech „dzielnikiem” jest podgrupa normalna („dzielnik normalny”).
Pierwsze twierdzenie Jeżeli są grupami, a
jest homomorfizmem, to jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną obraz jest podgrupą a grupa ilorazowa nazywana czasem koobrazem, jest izomorficzna z obrazem
Jeżeli ciąg rozszczepia się, to jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu na sumę prostą.
Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie) Niech będą podgrupami będzie podgrupą normalną
Wówczas Iloczyn grup oraz jest podgrupą w jest podgrupą normalną w a jest izomorficzna z
Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie) Jeżeli są podgrupami normalnymi w takimi, że zawiera się w
to jest podgrupą normalną w jest podgrupą normalną w jest izomorficzna z
Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.