Natomiast w 1991 i 1993 roku zostawał wicemistrzem Bundesligi. Po sezonie 1993/1994 odszedł z Bayernu, dla którego rozegrał 216 ligowych spotkań. Jego następcą został Oliver Kahn, który przybył do klubu latem 1994.
Nowym klubem Aumanna został turecki Beşiktaş JK. W sezonie 1994/1995 był podstawowym zawodnikiem tego klubu, wywodzącego się ze Stambułu i wywalczył z nim tytuł mistrza Turcji. W sezonie 1995/1996 doznał kontuzji stopy w jednym z testowych spotkań i pauzował przez prawie cały sezon rozgrywając w nim zaledwie 8 spotkań. Latem 1996 zdecydował się więc zakończyć piłkarską karierę.
Klub Liga Sezon Mecze Bramki Bayern Monachium Bundesliga 1980/81 0 0 1981/82 0 0 1982/83 0 0 1983/84 0 0 1984/85 20 0 1985/86 11 0 1986/87 0 0 1987/88 9 0 1988/89 34 0 1989/90 33 0 1990/91 32 0 1991/92 13 0 1992/93 32 0 1993/94 32 0 Łącznie w Bundeslidze 216 0 Beşiktaş JK Süper Lig 1994/95 33 0 1995/96 8 0 Łącznie w Superlidze 41 0