Terquem jako pierwszy użył również nazwy „okrąg dziewięciu punktów”.
Dowód mały|400px
W trójkącie przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok: to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie, to punkty połowiące odcinki to punkty połowiące boki trójkąta:
Rozważmy trójkąt i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt jest prosty, jako że jest wysokością trójkąta Oznacza to, że odcinek jest średnicą okręgu opisanego na
Z definicji punktów oraz zachodzi
co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że a zatem i
Analogicznie, ponieważ
więc
Ale a co za tym idzie
co oznacza, że trójkąt także jest prosty, a więc punkty leżą na jednym okręgu.
Podobnie pokazujemy, że oraz a korzystając z tego, że otrzymujemy, że trójkąt także jest prostokątny, co oznacza, że punkty leżą na wspólnym okręgu.
Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów i a następnie od i W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów
oraz
jest współokręgowa.