Kompleks łańcuchowy – pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.
Definicja Kompleksem łańcuchowym nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów) połączony morfizmami zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość (lub równoważnie ).
Zapisuje się je zwykle jako:
Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zapisuje się
Przykłady Dla rodziny kompleksów łańcuchowych ich sumą prostą jest kompleks, w którym:
Homologie Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu i każdego określamy grupy
które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu Z definicji kompleksu mamy dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu jako:
Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem Homologiczną klasę cyklu oznaczamy przez
Przekształcenia łańcuchowe Przekształceniem łańcuchowym między kompleksami a nazywamy ciąg morfizmów komutujących z operatorami brzegu, tj.