Życie prywatne Neven Subotić urodził się 10 grudnia 1988 roku w Banja Luce w ówczesnej SFR Jugosławii, w rodzinie Serbów, jako syn Željka i Svietlany. W 1990 roku, niedługo przed rozpadem Jugosławii, gdy Subotić miał 18 miesięcy, jego rodzina uciekła z Bośni do niemieckiego miasteczka Schömberg. Gdy w 1992 w Bośni wybuchła wojna rodzina otrzymała status uchodźców. Zamieszkała na poddaszu siedziby lokalnego klubu piłkarskiego, do którego dołączył jego ojciec, grający w piłkę nożną już wcześniej w byłej Jugosławii. Subotić interesował się tą dyscypliną od najmłodszych lat, grając razem z ojcem bądź obserwując jego grę. W wieku 7 lat po raz pierwszy zagrał w barwach klubowych, w lokalnym TSV Schwarzenberg.
Gdy w 1999 rodzinie Suboticia wygasło pozwolenie na pobyt w Niemczech, stanęła ona przed perspektywą powrotu do ojczyzny, wciąż zmagającej się ze skutkami wojny. Suboticiowie zdecydowali się jednak wyjechać do Stanów Zjednoczonych. Osiedlili się w Salt Lake City w stanie Utah, gdzie mieszkał już kuzyn ze strony ojca. Neven Subotić, który w czasie edukacji w Niemczech uczył się języka angielskiego, w ciągu trzech miesięcy potrafił go na tyle opanować, by móc się nim już płynnie posługiwać. W tamtym czasie grał w młodzieżowych zespołach Sparta Gold i Impact Black.