Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.
Definicja Niech będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała co zapisujemy Symbol oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z
Wyróżnik wielomianu stopnia
to element ciała (więc liczba, gdy ciało jest liczbowe) gdy
i gdy
gdzie to rugownik wielomianu i jego pochodnej zaś jest stopniem pochodnej
Jeżeli to wielomian ma pierwiastki wielokrotneJeżeli spełniony jest warunek to ma rzeczywiście pierwiastki wielokrotne, co wynika z następującego twierdzenia.
Jeżeli jest ciałem, i jest pierwiastkiem wielomianu (w jego ciele rozkładu), to jest pierwiastkiem wielokrotnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem pochodnej
Dowód: Niech będzie krotnością pierwiastka Wtedy dla pewnego wielomianu Obliczmy pochodną Stąd
Na odwrót, ponieważ to dla pewnego wielomianu Pochodną jest Tym razem z założenia, więc skąd dla pewnego wielomianu Wstawiając to do wyrażenia na dostajemy Ale więc skąd wynika, że i pierwiastek ma w wielomianie krotność więc jest wielokrotny.