Ideał główny — część 1

Ideał główny – ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli jest elementem pierścienia z jedynką, to: prawostronny ideał główny jest równy

lewostronny ideał główny jest równy

dwustronny ideał główny jest równy

Jeśli jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element pierścienia oznacza się Mówi się, że jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w są główne. Dodatkowo, gdy jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.

Własności Jeżeli i są niezerowymi elementami pierścienia to wtedy i tylko wtedy, gdy przy czym oznacza relację stowarzyszenia tj. dzieli oraz dzieli Jeżeli jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów jest główny.