Kariera reprezentacyjna W 1994 roku Pizzi otrzymał hiszpańskie obywatelstwo i nie otrzymując powołania do reprezentacji Argentyny 30 listopada zadebiutował w reprezentacji Hiszpanii w wygranym 2:0 meczu z Finlandią. W 1996 roku został powołany przez Javiera Clemente do kadry na Euro 96. W spotkaniu grupowym z Bułgarią (1:1) otrzymał czerwoną kartkę, a zagrał jeszcze w jednym spotkaniu, wygranym 2:1 z Rumunią. Natomiast w 1998 roku wystąpił w jednym spotkaniu Mistrzostw Świata we Francji, które Hiszpanie zremisowali 0:0 z Paragwajem. Był to także ostatni mecz w kadrze narodowej dla Pizziego, który w reprezentacji wystąpił 22 razy i strzelił 8 goli.
Kariera trenerska Po zakończeniu kariery Pizzi został trenerem. W 2005 roku wraz z Peruwiańczykiem José del Solarem objął zespół CA Colón. Jednak w fazie Clausura zespół przegrał pierwsze trzy spotkania i duet trenerski został zwolniony. W 2006 roku Juan Antonio trenował peruwiański klub Universidad San Martín Lima i pracował tam do 2007 roku. Następnie prowadził Santiago Morning, a w 2010 roku został trenerem Universidad Católica.