-grupa (także grupa pierwsza, grupa -pierwsza) – grupa, której rząd jest równy gdzie jest liczbą pierwszą a jest dodatnią liczbą całkowitą.
Konkretne wartości podstawia się do nazwy, np. dla mówi się o 11-grupie.
Podgrupę grupy nazywa się -podgrupą, jeżeli jest ona -grupą. Podgrupę grupy skończonego rzędu nazywa się -podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli gdzie to
Własności Niech będzie grupą skończoną oraz gdzie są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli nie zawiera elementu rzędu to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń: -podgrupy Sylowa lub -podgrupy Sylowa grupy są abelowe. oraz lub gdzie jest grupą monstrum.
Twierdzenie o centrum p-grupy Centrum -grupy jest nietrywialne, to znaczy, że gdzie jest elementem neutralnym -grupy (jak wiadomo, ).
Dowód. Niech będzie -grupą, tj. dla pewnej liczby oraz niech funkcja
dane wzorem
Odwzorowanie jest działaniem grupy na sobie (czyli na zbiorze ).
Ponieważ
więc orbita elementu jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem centrum
Jeśli orbita -grupy ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez