Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu co kończy dowód.
Dowód 2 W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu gdzie jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są i co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór ciągów elementów z o długości których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, który musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać więc, że elementów może być dowolnie wybrane. Zatem zbiór ma elementów, a ta liczba jest podzielna przez
Z faktu, że jeśli to także wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z daje element zbioru Możemy określić działanie grupy cyklicznej rzędu na poprzez cykliczne permutacje składników.