Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli jest grupą skończoną i jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy (liczby elementów grupy ), to w istnieje element rzędu Oznacza to, że istnieje taki, że dla najmniejszego niezerowego zachodzi gdzie jest elementem neutralnym.
Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy dzieli rząd grupy Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej będącej dzielnikiem rzędu istnieje podgrupa grupy której rzędem jest i jest to grupa cykliczna.
Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli jest liczbą pierwszą, a jest dzielnikiem rzędu grupy to ma podgrupę rzędu
Twierdzenie i dowód Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.
Twierdzenie: Niech będzie grupą skończoną, a liczbą pierwszą. Jeśli dzieli rząd grupy to ma element rzędu