Działanie grupy na zbiorze Niech będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy grupy na zbiorze warstw zadane wzorem Wówczas jest podgrupą normalną Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w
Jeśli to
Oznaczenia W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie mamy więc oraz dla dowolnego zbioru
Własności Niech będą grupami, Niech co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i komutują ze sobą. Jeśli to Jeśli jest abelowa, to oraz grupa jest abelowa jest zawsze podgrupą normalną jest podgrupą normalną
Jeśli grupa ilorazowa jest cykliczna, to jest abelowa. Jeśli jest grupą nieabelową, to jej indeks względem jest większy od Jeśli to
Uwagi Jeżeli wtedy grupa ilorazowa jest izomorficzna z podgrupą grupą automorfizmów
Jeżeli to jest izomorficzna z podgrupą zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy
Jeżeli to homomorfizm taki, że pozwala na opisanie oraz w terminach działania grupy na grupie jest stabilizatorem w jest podgrupą punktów stałych
Zobacz też działanie grupy na zbiorze grupa grupa ilorazowa