zmodyfikował jedynie równania Schrödingera tak, by uzyskać zgodność opisu z wynikami eksperymentów, gdzie ujawnia się spin cząstek).
Macierze sigma Diraca
lub macierzami Pauliego, zaś jest macierzą zerową
Macierz te mają wymiar Przy czym zachodzą równości
Komutator hamiltonianu z operatorem momentu pędu Obliczamy komutator hamiltonianu cząstki swobodnej z operatorem momentu pędu gdzie:
Np. dla składowej
otrzymamy
Oznacza to, że moment pędu nie komutuje z hamiltonianem, nie jest więc zachowany (nie jest stałą ruchu).
Definicja operatora spinu Diraca Wektorowy operator spinu definiuje się, żądając (1) operator całkowitego momentu pędu cząstki (tj. suma operatora spinu Diraca i operatora orbitalnego momentu pędu ) musi komutować z hamiltonianem równania Diraca dla cząstki swobodnej (jeżeli bowiem cząstka jest swobodna, to jej całkowity moment pędu musi być zachowany) (2) operator spinu Diraca musi spełniać odpowiednie reguły komutacyjne (dokładniej warunek ten omówiono niżej – patrz sekcja „Komutatory operatorów spinu ”).
Mamy więc
oraz (1) (2)
gdzie – tensor zupełnie antysymetryczny.
Warunki (1) i (2) są spełnione, jeżeli składowe operatora spinu mają postać
czyli: