jeżeli to oraz
Ideałem lewostronnym (lub ideałem prawostronnym) algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową która jest lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) ideałem pierścienia a więc jeżeli oraz to (odpowiednio ).
Szczególne rodzaje algebr Algebra łączna – algebra, w której mnożenie wektorów jest łączne.
Powstały pierścień jest łączny (jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków).
Algebra przemienna – algebra, w której mnożenie wektorów jest przemienne.
Algebra przemienna tworzy wtedy pierścień przemienny, a warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne.
Algebra z jedynką – zwana też algebrą unitarną, nieściśle: algebrą z jednością – algebra, w której działanie ma element neutralny różny od elementu zerowego
Oznacza to, że pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny.
Algebra z dzieleniem – algebra z jedynką, w której każdy niezerowy element jest odwracalny.
Oznacza to, że pierścień jest z dzieleniem.
Tw. Algebra łączna i przemienna z dzieleniem tworzy ciało.
Homomorfizm algebr Ponieważ algebra jest jednocześnie przestrzenią liniową i pierścieniem to homomorfizmem algebr nazywamy funkcję która jest jednocześnie homomorfizmem przestrzeni liniowych i homomorfizmem pierścieni. Tzn.