Równanie Laplace’a występuje m.in.: w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a, w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła, w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy, w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych, w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.
Interpretacja matematyczna Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.
Rozwiązania Wzór Poissona dla półprzestrzeni Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni spełniającym na brzegu dla warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Wzór Poissona dla kuli Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli spełniającym na (hiper-)sferze warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Zobacz też laplasjan, dywergencja, nabla równanie różniczkowe Poissona funkcja harmoniczna
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-14]. Laplace equation , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
Laplace’a