Niech będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór złożony z -równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii
Twierdzenie Banacha-Alaoglu a aksjomat wyboru Przedstawiony wyżej dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Halpern i Levy udowodniliJ.D. Halpern, A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice, Axiomatic Set Theory Part 1, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 13 (1971), 83–134., że na gruncie teorii ZF następujące zdania są równoważne: twierdzenie Banacha-Alaoglu, BPI: każdy filtr w algebrze Boole’a jest zwarty w ultrafiltrze, twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa, produkt dowolnej rodziny kopii przedziału jest zwarty.
W szczególności, nie można zrezygnować z pewnej formy aksjomatu wyboru w dowodzie twierdzenia Banacha-Alaoglu, ale pełna siła tego aksjomatu nie jest wymagana.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne Banacha-Alaoglu