Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza – twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.
Reguła Leibniza Wersja I – analiza klasyczna Niech będzie funkcją załóżmy, że jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową na całej swojej dziedzinie.
Dla określmy Wówczas funkcja jest różniczkowalna oraz dla każdego spełniony jest wzór:
Ogólniej, zakładając że dla każdego funkcja jest ciągła na przedziale gdzie funkcje są ciągle różniczkowalne, mamy:
Wersja II – teoria miary Niech będzie otwartym podzbiorem oraz będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że spełnia poniższe warunki:
(1) jest dla każdego funkcją całkowalną względem
(2) Dla każdego pochodna istnieje -p.w.
(3) Istnieje całkowalna funkcja dla której
Wtedy dla każdego
Dowód Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez
(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,
W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.