W wieku lat osiemnastu dokonał coming outu jako mężczyzna biseksualny.

W październiku 2017, podczas wywiadu dla portalu BuzzFeed oskarżył aktora Kevina Spacey'a o molestowanie seksualne. Sytuacja miała mieć miejsce w roku 1986, gdy Rapp miał 14 lat. Wtedy grał w sztuce Precious Sons z Edem Harrisem, zaproszony do mieszkania aktora, gdzie odbywała się duża impreza. Ze względu na to, że nikogo nie znał, przesiedział większość czasu w sypialni, oglądając telewizję. Po jakimś czasie dołączył do niego Spacey, miał go wówczas wziąć na ręce, „tak, jak pan młody przenosi pannę młodą nad progiem”, a następnie umieścić na łóżku i położyć się na nim. Wtedy Rapp miał okazać, że nie jest zainteresowany, a następnie opuścił pomieszczenie. Jak przyznaje, ta sytuacja powracała do niego latami.