Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki: dla każdego obiektu kategorii zachodzi dla każdych dwóch morfizmów kategorii zachodzi
Niech oznacza kategorię dualną do Przez funktor kontrawariantny z do rozumiemy funktor kowariantny z do Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składaniaInne podejście do definicji funktora kontrawariantnego i dalsze przykłady znajdują się w Teoria kategorii#Funktory oraz Funktory sprzężone#Funktory sprzężone kontrawariantne..
Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane multifunktorami, określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii W przypadku n=2 używa się nazwy bifunktor. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.
Jeśli i są dwoma funktorami, to ich złożenie powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych dla i przyporządkowań morfizmowych dla w
Funktor nazywa się izomorfizmem kategorii i gdy istnieje funktor taki, że oba złożenia i są odpowiednimi funktorami tożsamościowymi, tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami.