Algebry Liego oraz ich reprezentacje są używane w fizyce, w szczególności w mechanice kwantowej i fizyce cząstek elementarnych. Mają też zastosowanie w szukaniu rozwiązań układów równań nieliniowych itd.
Nazwa algebr pochodzi od Sophusa Lie. Dawniej nazywano je grupami infinitezymalnymi.
Definicja Algebra Liego nad ciałem (zwykle lub ) to przestrzeń liniowa nad ciałem w której dodatkowo określone jest działanie dwuargumentowe nazywane nawiasem Liego, spełniające dla dowolnych i następujące warunki: dwuliniowość:
antysymetryczność:
tożsamość Jacobiego:
Przykłady Przestrzenie wektorowe Wektory przestrzeni z nawiasem Liego zdefiniowanym tak, że dla dowolnych wektorów zeruje się, tj. tworzą algebrę Liego. Dowód: w każdym z warunków, jakie ma spełniać mnożenie otrzyma się tożsamość, gdyż każdy nawias Liego występujący tam zeruje się.
Macierze kwadratowe o elementach rzeczywistych, z nawiasem Liego będącym komutatorem macierzy, tj.
tworzą algebrę Liego pełnej grupy liniowej macierzy odwracalnych (tj.