W latach 1993–2003 reprezentował Chile w Pucharze Davisa, rozgrywając łącznie 35 meczów singlowych, z których w 25 zwyciężył. W deblu wystąpił w 10 meczach, z których 3 wygrał.
W 2000 roku Ríos uczestniczył w igrzyskach olimpijskich w Sydney. Odpadł z rywalizacji singlowej w 1 rundzie, podobnie jak i w deblu. W 2003 wygrał 2 srebrne medale podczas igrzysk panamerykańskich w Santo Domingo, w konkurencji singla i debla.
Finały w turniejach ATP World Tour
Gra pojedyncza (18–13)
Gra podwójna (1–1)
Osiągnięcia w turniejach Wielkiego Szlema i ATP World Tour Masters 1000 (gra pojedyncza) Turniej 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Wygrane turnieje Bilans w turnieju Wielki Szlem Australian Open – – 1R QF F – – 1R QF – – 0 / 5 14–5 French Open 2R 2R 4R 4R QF QF 1R 2R – 1R – 0 / 9 17–9 Wimbledon – 1R – 4R 1R – – – – – – 0 / 3 3–3 US Open 2R 1R 2R QF 3R 4R 3R 3R 3R – – 0 / 9 17–9Bilans spotkań 2–2 1–3 4–3 14–4 12–4 7–2 2–2 3–3 6–2 0–1 0–0 – 51–26 ATP World Tour Finals ATP World Tour Finals – – – – RR – – – – – – 0 / 1 0–1 ATP World Tour Masters 1000 Indian Wells – 3R SF 2R W 3R 2R 1R 3R 2R – 1 / 9 16–9 Miami – 3R 3R 3R W 4R 4R 2R SF 4R – 1 / 9 20–7 Monte Carlo – – SF W – F 1R 2R 3R – – 1 / 6 16–4 Rzym – 2R QF F W 1R 1R 2R – – – 1 / 7 15–6 Hamburg – – SF 3R 2R W SF 2R – – – 1 / 6 14–5 Montreal/Toronto – –