Zwiększenie liczby wyrazów w liczeniu sumy częściowej Fouriera zmniejsza średni błąd kwadratowy; dla otrzymuje się . Widać stąd, iż analiza Fouriera stanowi skuteczne narzędzie znajdowania znakomitych aproksymacji rozwiązań równań różniczkowych.
Zależność aproksymacji od liczby wyrazów sumy aproksymującej Dokładność aproksymacji danej funkcji za pomocą szeregu Fouriera zależy od liczby wyrazów N szeregu - im więcej wyrazów sumy częściowej, tym mniejszy jest średni błąd kwadratowy. Pokazują to poniższe animacje. Efekt Gibbsa Dla funkcji nieciągłych pojawia się tzw. efekt Gibbsa w aproksymacji - w punktach nieciągłości (odcinki skoków pionowych) następują silne odchylenia funkcji aproksymującej od wartości średniej, pomimo że maleje średni błąd kwadratowy aproksymacji danej funkcji za pomocą sum częściowych szeregu Fouriera wraz ze wzrostem liczby wyrazów sumy aproksymującej. W związku z tym stosuje się różne techniki wygładzania lokalnego funkcji aproksymującej w pobliży punktów nieciągłości.mały|Funkcja (czerwona) to suma 6 funkcji sinus (niebieskie) i funkcja ich amplitud .|249x249px Widmo czyli amplitudy składowych harmonicznych Współczynniki szeregu Fouriera reprezentują amplitudy składowych harmonicznych , jakie zawiera dany sygnał. Zbiór tych współczynników nazywa się widmem danej funkcji.