2) Jeśli ciągła funkcja jest nieparzysta (czyli spełnia tożsamość , to posiada punkt dla którego
3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie (dla ).
4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste odwzorowanie , którego zbiorem wartości jest cała sfera ..
Dowód Przy użyciu kohomologii Niech będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.
Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: dzięki nieparzystości dostaniemy ciągłe odwzorowanie: gdzie oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała
który na przybiera wartość ale: a To daje sprzeczność.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Borsuk-Ulam theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Borsuka-Ulama, twierdzenie Borsuka-Ulama, twierdzenie