W 1996 roku Suárez przeszedł do Chivas de Guadalajara. W Chivas także był filarem zespołu, a szczyt formy osiągnął w fazie Verano 1997, kiedy to klub z Guadalajary po 10 latach wywalczył mistrzostwo kraju. W Chivas występował przez 4 lata, do końca fazy Clausura 2000, a przez ten okres wystąpił w 144 meczach, w których to 10-krotnie zdobywał bramkę. Latem 2000 Claudio wyjechał do Monterrey by podpisać kontrakt z tamtejszym Tigres UANL. Już w fazie Invierno 2001 wywalczył wicemistrzostwo kraju, a w 2003 roku wspomógł klubowych kolegów w powtórzeniu tego sukcesu. Swój ostatni mecz w UANL rozegrał 2006 roku w ligowych derbach zwanych Clásico Regiomontano (UANL – CF Monterrey), w którym w wyniku kontrowersyjnej decyzji sędziego otrzymał czerwoną kartkę. Miewał także kłopoty organizacyjne z kierownictwem klubu, które namawiało go do zakończenia kariery i nie godząc się na te warunki zdecydował się odejść z Tigres. Dla tego klubu zagrał w 143 spotkaniach i zdobył 16 goli.