Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości. thumb|Wykres funkcji półciągłej z dołu w thumb|Wykres funkcji półciągłej z góry w
Definicja formalna Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz niech dana będzie funkcja
Funkcja jest: półciągła z dołu w punkcie gdy
półciągła z góry w punkcie gdy
Funkcja jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru
Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi
a zatem ciągłości funkcji w punkcie Z własności granic wynika, że jest półciągła z góry w wtedy i tylko wtedy, gdy jest półciągła z dołu w
Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.
Warunki równoważne Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji w punkcie Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie. jeśli oraz to jeśli to
jeśli jest punktem skupienia przestrzeni to
dla każdego istnieje takie że
Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.
Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz Funkcja