Dla podzbiorów przestrzeni euklidesowej, gdzie określona jest różniczkowalność można nakładać dodatkowe warunki na ściągalność zbioru. Obszar nazywa się ściągalnym różniczkowalnie do punktu jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe klasy takie, że dla każdego
Obszar określa się jako gwiaździsty względem punktu jeśli dla każdego odcinek łączący punkt z zawiera się w tj.
Łatwo wykazać, że zbiór gwiaździsty względem punktu jest ściągalny do Żądane odwzorowanie jest postaci Dla obszarów ściągalnych zachodzi lemat Poincarégo.
Relacja równoważności Dla ustalonych przestrzeni topologicznych relacja homotopii w przestrzeni funkcji ciągłych jest relacją równoważności. Jej klasy równoważności nazywa się klasami homotopii.
Zwrotność jest oczywista, symetria polega na odwróceniu przechodzenia po przedziale przechodniość wynika ze składania odwzorowań: pierwsza połowa służy do przejścia po pierwszym odwzorowaniu, druga – po drugim, złożenie odwzorowań ciągłych jest ciągłe.
Przykłady Jeśli to funkcje i są zawsze homotopijne między sobą. Wystarczy przyjąć Jeśli – -wymiarowa sfera jednostkowa, to powyższe nie jest prawdą. Na przykład identyczność i funkcja stała nie są homotopijneKuratowski, Kazimierz Wstęp do teorii mnogości i topologii, s.