W lutym 1964 roku wystartowała na igrzyskach olimpijskich w Innsbrucku, gdzie osiągnęła swoje największe sukcesy. Najpierw sięgnęła po brąz w slalomie, przegrywając jedynie z francuskimi siostrami: Christine i Marielle Goitschel. Dwa dni później zajęła drugie miejsce w gigancie, za Marielle Goitschel i ex aequo z jej siostrą, Christine. Saubert została tym samym pierwszą medalistką olimpijską w konkurencjach narciarskich z Oregonu. Została jednocześnie jedyną multimedalistką z USA na tych igrzyskach, zdobywając dwa z sześciu medali ekipy amerykańskiej. Igrzyska w Innsbrucku były równocześnie mistrzostwami świata, jednak kombinację rozegrano tylko w ramach drugiej z tych imprez. W konkurencji tej Saubert zajęła czwarte miejsce, tuż za Austriaczką Edith Zimmermann. W tym samym roku wygrała ponadto giganta i kombinację na zawodach Critérium de la première neige w Val d’Isère, slalom na zawodach Arlberg-Kandahar-Rennen w Garmisch-Partenkirchen i zawodach Silberkrugrennen w Bad Gastein oraz giganta podczas zawodów SDS-Rennen w Grindelwald.