Jeżeli jest izomorfizmem, to również jest izomorfizmem.
Jeżeli jest suriektywny, to jest iniektywny. Jeżeli jest iniektywny, to obraz operatora jest gęsty w tzn.
Jeżeli jest skalarem, to
Jeżeli są skończenie wymiarowe, to operator jest reprezentowany przez macierz Wówczas, operator sprzężony do reprezentowany jest przez macierz sprzężoną hermitowsko z
Operator samosprzężony (hermitowski)
Ograniczony operator liniowy nazywany jest samosprzężonym lub hermitowskim, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj.
co jest równoważne stwierdzeniu .
W pewnym sensie operatory hermitowskie mają własności analogiczne do liczb rzeczywistych (które są równe swoim sprzężeniom zespolonym).
Operatory hermitowskie tworzą przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych, co oznacza, że: suma operatorów hermitowskich jest operatorem hermitowskim, iloczyn operatora hermitowskiego przez liczbę rzeczywistą jest operatorem hermitowskim.
Operatory te służą do modelowania obserwabli w mechanice kwantowej z tej racji, że mają rzeczywiste wartości własne (patrz niżej).