Pierwsze nauki pobierał (od roku 1781) w szkołach krzemienieckich. Z braku środków finansowych na dalsze studia ubiegał się o patent geometry królewskiego (wydany 31 maja 1792) i przez następne 8 lat pracował na Wołyniu jako geometra prywatny. W roku 1800 otrzymał posadę nauczyciela domowego u Józefa Poniatowskiego w Tuhańczy (pow. kaniowski). Tam też poznał T. Czackiego, dzięki któremu w latach 1806–1811 pracował jako nauczyciel wymowy i poezji w Liceum Krzemienieckim, gdzie uczył poezji i wymowy. W wyniku konkursu, w roku 1811, objął Katedrę Wymowy i Poezji na Cesarskim Uniwersytecie Wileńskim jako profesor (wykładał tam do swej śmierci w 1814).
W 1808 poślubił Salomeę z Januszewskich, z którą miał syna Juliusza (ur. 1809). W rok po ślubie Słowaccy zamieszkali w Krzemieńcu, gdzie wybudowali własny dom. Mieszkali tam do sierpnia 1811, kiedy to przenieśli się do Wilna.
W 1814 (10 listopada) Euzebiusz zmarł na gruźlicę, która później stała się również przyczyną śmierci jego syna Juliusza. W chwili jego śmierci żona Salomea miała zaledwie 23 lata, a syn Juliusz – 5.
Pochowany na Cmentarzu na Rossie w Wilnie.