Ponadto, jesteśmytutaj w stanie powiedzieć, że ma wartość dodatnią, jeśli tylko jest jakąś liczbą parzystą; zaś wartość ujemną wyrażenie to przybiera, jeśli mamy: nieparzyste.
Obalenie Hipoteza Pólyi została obalona przez C.B. Haselgrove’a w 1958 roku. Pokazał on, że istnieje kontrprzykład rozmiaru oszacowanego przez niego na . Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.
Dokładny kontrprzykład równy został podany przez R.S. Lehmana w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący podał Minoru Tanaka w 1980 roku.
Hipoteza ta, okazuje się nie być spełniona, dla większości z wartości dla , takich że mieszczą się one jednocześnie w następującym przedziale (zadanym zapisanymi nierównościami): . Ponadto (dla porównania), umiemy także powiedzieć, że: sumacyjna funkcja Liouville'a w tym samym przedziale, osiąga swoją maksymalną możliwą wartość, równądokładnie: ; w punkcie .
Bibliografia R.S. Lehman, On Liouville’s function. Math. Comp. 14 (1960), s. 311–320. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function, „Tokyo Journal of Mathematics” 3, (1980) s. 187–189.
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-07-02].
P P