To z kolei implikuje idempotentność jej rozkładu prawdopodobieństwa, czyniąc ją zmienną zdegenerowanąReply to "Various issues around the -norm distance", Tomski Andrzej and Łukaszyk Szymon, IPI Letters, Volume 33, Number 4, doi:10.59973/ipil.77.
Zmienne losowe Metryka probabilistyczna pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi i o ciągłych rozkładach gęstości prawdopodobieństwa jest zdefiniowana jako:
gdzie oznacza łączną gęstość prawdopodobieństwa zmiennych losowych i Jeżeli i są niezależne, to:
gdzie i oznaczają odpowiednie funkcje gęstości prawdopodobieństwa zmiennych i
W przypadku dyskretnych zmiennych losowych metryka probabilistyczna przyjmuje postać:
Można wykazać, że taka metryka probabilistyczna nie spełnia pierwszego warunku metryki, lub też spełnia go wtedy i tylko wtedy, jeżeli oba jej argumenty to zmienne zdegenerowane opisywane funkcją gęstości prawdopodobieństwa typu delty Diraca.