Rozmaitość różniczkową definiuje się jako przestrzeń Hausdorffa wyposażoną w zbiór map, które pokrywają całą rozmaitość. Mapy składają się z podzbioru rozmaitości oraz funkcji, która przyporządkowuje punktom tego podzbioru współrzędne. Tę funkcję nazywa się układem współrzędnych. Dopuszcza się istnienia wielu map dla danej rozmaitości, ponieważ w ogólności jedna mapa nie wystarcza do opisania jej w całości. Np. dla sfery nie istnieje (w sensie geometrii różniczkowej) globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy ).
Bardzo ważnym obiektem związanym z rozmaitościami różniczkowymi jest przestrzeń styczna. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej w punkcie to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Geometria różniczkowa formalizuje tę intuicję. Przestrzeń styczna pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej i umożliwia zdefiniowanie pól wektorowych i tensorowych na rozmaitościach.