Niech będzie przestrzenią metryczną oraz będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina jest wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego i dla każdego
jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego istnieje takie że dla wszelkich oraz każdego
punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego domknięcie zbioru jest zbiorem zwartym.
Twierdzenie Wersja klasyczna Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że Jeżeli jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.
Założenie jednakowej ciągłości jest istotne – istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech
dla oraz Licznik i mianownik wyrażenia są nieujemne, skąd (wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,
dla każdego ale
dla więc żaden podciąg ciągu nie jest zbieżny jednostajnie.
Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że Jeżeli jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej to jest rodziną jednakowo ciągłą.
Istotnie, niech będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna taka, że dla